专利名称：单转位圆度误差分离方法
技术领域：
本发明属于精密仪器制造及测量技术领域，特别是一种超精密圆度误差分离方法。
背景技术：
误差分离技术作为分离仪器回转主轴误差和被测工件圆度误差的基本手段已被广泛应用于精密圆度测量仪器中来提高其测量精度，精密圆度测量中采用的误差分离技术可分为两大类，一类是利用被测工件的多次转位来获得附加信息的“多转位法”，另一类是通过增加传感器个数来获得附加信息的“多测头法”。“多转位法”又包括“多步法”、“反向法”。总的来看，采用上述误差分离技术使精密圆度测量仪器的精度水平有了较大改善，但未达到人们所期望的效果，其主要因素集中在以下几个方面1)“多转位法”中的“多步法”原理上存在谐波抑制问题，“反向法”则存在传感器二次安装带来的前、后两测量截面不重合引起的误差，其对圆度误差分离精度的降低，已在欧洲五国第二次圆度国际比对结果中得到证实；由“多步法”发展起来的“多重多步法”、“全谐波误差分离法”等方法虽然可解决谐波抑制问题，但它是以增加工件转位数为前提的。它存在测量周期长，测量系统漂移影响大等缺点，这就使误差分离过程中测量状态的变化难以控制，最终易导致分离结果分散性大，降低分离精度；2)“多测头法”原则上可通过增加传感器个数和适当布局传感器间的位置来解决谐波抑制问题，但在工程实施中存在着各传感器特性不一致、传感器安装布局困难，很难保证测头在同一测量轮廓上，并且被测工件直径不同时还需重新调整，因此在圆度测量仪中很难得到推广应用。
可见，如何减小误差分离技术的谐波抑制、简化其分离过程和减小分离时间是进一步提高圆度仪误差分离精度的关键。
围绕着圆度误差分离技术这一核心问题，近来一些学者提出了许多有价值的分离方法，如孙彤博士提出了基于Prony谱分析的两步法圆度误差分离技术(SunTong.Two-step technique without harmonics suppression in error separation.Meas.Sci.Technol.，1996；71563)，从理论上分析了该方法的有效性；曹麟祥教授提出了基于正、反傅立叶变换的两步法误差分离技术，这些方法深化和发展了误差分离技术，但仍存在运算复杂等不足。
发明内容
为了克服上述已有圆度误差分离方法的不足，并进一步改善超精密圆度测量仪器的回转精度，本发明提出一种新的单转位圆度误差分离方法。该方法在分离过程中通过选择恰当的转位角α，使工件相对回转主轴进行相应角度的单次小角度转位，通过测量工件转位前和转位后包括工件误差g(n)和主轴回转误差z(n)在内的综合误差A(n)和B(n)，利用快速傅里叶级数变换和谐波分析等数学处理方法，实现z(n)和g(n)在1-100upr谐波范围的全谐波分离。
本发明的技术解决方案结合图1说明一种超精密圆度误差单转位分离方法，该方法包括以下步骤1)选定被测工件2某个测量截面进行分离测量，传感器1测得处于初始转位位置a处的包括工件圆度误差g(n)和主轴3的回转误差z(n)在内的综合误差A(n)，其中n＝0，1，...，N-1，N为工件2圆轮廓的周采样点数；2)将工件2相对主轴3转过角度α到达转位位置b，再对处于转位位置b的工件2进行测量，传感器1测得包括工件圆度误差g(n)和主轴回转误差z(n)在内的b转位上的综合误差值B(n)，其中n＝0，1，...，N-1；3)将转位角α和工件2单次转位前后a、b位置上测得的综合误差A(n)和B(n)代入单转位圆度误差分离方法中进行圆度误差分离，具体步骤如下
①去除采样信号A(n)、B(n)的直流量；②计算差值信号r(n)；r(n)=Σk=2S-1((ak(1-coskα)-bksinkα)cos(2nπk/N)+(aksinkα+bk(1-coskα))sin(2nπk/N))]]>其中，ak、bk为工件圆度误差g(n)的傅立叶级数展开系数，ck、dk为主轴回转误差z(n)的傅立叶级数展开系数，S为谐波次数。
③对r(n)进行谐波分析，求其谐波系数ek和fk；ek=ak(1-coskα)-bksinkαfk=aksinkα+bk(1-coskα)]]>④计算g(n)谐波系数ak和bk；ak=12ek+sinkα2(1-coskα)fkbk=-sinkα2(1-coskα)ek+12fk]]>⑤除去A(n)中的基波分量和一次谐波分量；A″(n)＝A(n)-A0-(h1cos(2nπ/N)+l1sin(2nπ/N))其中，A0为基频分量，h1和l1为A(n)傅立叶级数展开系数。
⑥计算谐波合成g(n)；g(n)=Σk=2S-1((akcos(2nπk/N)+bksin(2nπk/N))]]>⑦计算轴系误差z(n)；z(n)＝g(n)-A″(n)4)将g(n)和z(n)分别代入圆度测量评定系统中进行圆度评定，得到剔除了回转误差的工件(2)g(n)的圆度值和主轴(3)回转误差z(n)的圆度值。
本发明具有如下特点及良好效果与其它误差分离技术相比，圆度误差单转位法分离技术在分离过程中，只需使工件相对主轴完成单次小角度转位，便经过简单的算法即可将被测工件圆度和主轴回转误差在1-100upr范围内进行全谐波分离，这是本发明区别现有技术的创新点之一；误差分离方法采用基于谐波分析的单转位误差分离方法，误差分离时分离转台仅需完成单次特定小角度的转位，即可完成被测工件的圆度误差分离，这是区别现有技术的创新点之二。
单转位误差分离方法可避免现有误差分离方法如多步法、反向法等进行圆度误差分离时，分离过程复杂，分离时间长，引入的各类漂移较大的不足等，同时可大大简化了误差分离装置和误差分离过程。
图1为被测工件处于初始转位a的示意2为被测工件处于转位位置b的示意3为本发明实施例被测工件处于第一转位示意4为本发明实施例被测工件处于第二转位示意5为Pi(k)与k之间的关系曲线6实测数据g(n)原始数据轮廓展开7实测数据g(n)1-100upr滤波范围的数据轮廓展开8实测数据z(n)在原始数据轮廓展开9实测数据z(n)在1-100upr滤波范围的数据轮廓展开10Δα＝0.00°时，单转位圆度误差分离方法分离实测数据的Δs(n)曲线图11Δα＝0.00°时，单转位圆度误差分离方法分离实测数据的Δe(n)曲线图12Δα＝0.01°时，单转位圆度误差分离方法分离实测数据的Δs(n)曲线13Δα＝0.01°时，单转位圆度误差分离方法分离实测数据的Δe(n)曲线中，1传感器、2工件、3主轴、4工件标志点、5主轴测量起始点。
具体实施例方式
本发明单转位圆度误差分离方法结合实施例及附图详细说明如下以传感器回转式圆度仪为例，来说明分离主轴回转误差z(n)和工件圆度误差g(n)的方法与过程。
将圆度仪回转主轴上某一固定位置a作为仪器测量起始点，被测工件置于误差分离转台上，设工件的起始参考点为b。如图3所示，工件在第一转位位置被测量完毕后，转动误差分离转台使工件参考点b相对于圆度仪主轴测量起始点逆时针转过α角，使工件处于第二转位位置再进行测量，如图4所示。设g(θ)为工件的圆度误差，z(θ)为主轴的回转误差，A(θ)、B(θ)分别为同一传感器在图3测量位置和图4测量位置上测得的综合误差。
设压缩传感器测头的方向为传感器正向，测量工件形状和仪器主轴形状向外凸起的方向分别为g(θ)和z(θ)的正向，由于传感器位于仪器主轴上，则z(θ)与A(θ)和B(θ)值的方向始终反向。则工件处于第一测量位置图时，传感器测得的综合误差数据A(θ)为A(θ)＝g(θ)-z(θ) (1)将g(θ)，z(θ)在时域内展开为以主轴回转一周为基波的函数g(θ)，则其傅立叶级数展开式为g(θ)=g0+Σk=1∞(akcoskθ+bksinkθ)---(2)]]>z(θ)=z0+Σk=1∞(ckcoskθ+dksinkθ)---(3)]]>式中g0、z0、ak、bk、ck和dk为傅立叶级数展开系数。
工件相对主轴转过α角转位后，其诸次谐波的相位发生了变化，其值为g(θ+α)，而轴系误差成分的相位不变，其值仍为z(θ)，则此第二转位上传感器测得的综合误差数据B(θ)为B(θ)＝g(θ+α)-z(θ)(4)同理，将g(θ+α)在时域内展开为以主轴回转一周为基波的函数g(θ+α)，其傅立叶级数展开式为
g(θ+α)=g0′+Σk=1∞(akcosk(θ+α)+bksink(θ+α))]]>=g0′+Σk=1∞((akcoskα+bksinkα)coskθ+(bkcoskα-aksinkα)sinkθ)---(5)]]>将(1)和(4)两式相减得r(θ)=A(θ)-B(θ)=g(θ)-g(θ+α)]]>=g0′′+Σk=1S-1((ak(1-coskα)-bksinkα)coskθ+(aksinkα+bk(1-coskα))sinkθ)---(6)]]>式中g0″，ak和bk为傅立叶级数展开系数将上式经过N点采样离散化处理，且只取0到S-1次谐波。第n次采样点的角度为2nπ/N，则其离散化形式如下r(n)=g0′′+Σk=1S-1((ak(1-coskα)-bksinkα)cos(2nπk/N)+(aksinkα+bk(1-coskα))sin(2nπk/N))---(7)]]>同理，r(n)也可展开为傅立叶级数形式r(n)=r0+Σk=1S-1(ekcos(2nπk/N)+fksin(2nπk/N))---(8)]]>式中r0=1NΣn=0N-1r(n)]]>ek=2NΣn=0N-1r(n)cos(2nπk/N)]]>fk=2NΣn=0N-1r(n)sin(2nπk/N)]]>比较式(7)和(8)中k≥2的谐波成分，得ek=ak(1-coskα)-bksinkαfk=aksinkα+bk(1-coskα)---(9)]]>求解上式，得ak=12ek+sinkα2(1-coskα)fkbk=sinkα2(1-coskα)ek+12fk---(10)]]>
求出任意k次谐波的谐波系数ak、bk后，再依据式(2)并进行离散化处理即可求出工件圆度误差的时域离散值g(n)为g(n)=g0+Σk=1∞((12ek+sinkα2(1-coskα)fk)cos(2nπk/N)+(-sinkα2(1-coskα)ek+12fk)sin(2nπk/N))]]>由式(1)得，轴系误差的时域离散值z(n)为z(n)＝g(n)-A(n)(11)圆度测量时，谐波分量中的基波分量和一次谐波分量(k＝0，1)都不属圆度的范畴。因此，g(n)可修正如下g′′(n)=Σk=2S-1((akcos(2nπk/N)+bksin(2nπk/N))---(12)]]>同理，依据式(11)求出z(n)时，除去A(n)，B(n)中的基波分量和一次谐波分量。将A(n)展开为傅立叶级数形式A(n)=A02+Σk=1S-1(hkcos(2nπk/N)+lksin(2nπk/N))---(13)]]>式中A0=1NΣn=0N-1A(n)]]>hk=2NΣn=0N-1A(n)cos(2nπk)]]>lk=2NΣn=0N-1A(n)sin(2nπk/N)]]>除去基波和一次谐波分量即使k≥2，则有A″(n)＝A(n)-A0-(h1cos(2nπ/N)+l1sin(2nπ/N))则轴系误差数据由下式得到z(n)＝g″(n)-A″(n)(14)转位角α的优选选择任意k(k≥2)次谐波来讨论，由式(12)得Ck(n)＝akcos(2nπk/N)+bksin(2nπk/N)(15)上式中
ak=12ek+sinkα2(1-coskα)fkbk=-sinkα2(1-coskα)ek+12fk---(16)]]>从式(16)可以看出当α＝2nπ/k(n＝0，1，…N-1)时，有1-coskα=0sinkα2(1-coskα)→∞---(17)]]>继而有aik→∞，bik→∞，该次谐波系数为无穷大。
令Pi(k)=sinkα2(1-coskα)---(18)]]>则Pi(k)系数为无穷大，致使该k次项谐波被无穷放大，因此在谐波合成时该项谐波必须避开。
解决的办法是通过数值计算选择合适的转位角α，使Pi(k)系数出现无穷大时的k值大于误差分离所需谐波的50次以上。
为方便分析，设转位角α为圆轮廓测量数据相邻两采样点对应转角的整数倍，即α=2πNn1---(19)]]>其中n1为传位角α对应的采样点数。
由式(16)可见，当kα≠2πJ时，k次谐波对应的Pi(k)就不会出现无穷大，由式19得n1≠JNk---(20)]]>其中J为正整数。
在圆度仪测量系统中，N＝1024，k≤100，选择n1＝9，即可满足上述要求，此时对应的转位角为
当取转位角α＝3.164°时，Pi(k)与k之间的关系如图5所示。
此时，Pi(k)在k＝114、228、342、456、569、683、797和911次谐波处出现异常，无法正确分离出该次谐波及其附近的谐波。
在高精度圆度测量仪器中，测量标准圆柱工件通常所含谐波分量主要集中在低频成份上，圆度测量时，谐波次数选用50次以内的谐波进行合成即可。而在单转位误差分离中，只要合适选择α，谐波奇异就会出现在误差分离中所需要的100upr谐波以外。实际中，转位角选取时，只要通过适当的选择，使kα≠2πJ，都可实现100upr谐波范围内的精确分离。
仿真与实测数据验证为验证单转位法误差分离方法在1-100upr滤波范围内分离效果的有效性和正确性，采取如下的验证方法选谐波次数k≤100的两组数据，一组作为工件数据g(n)(n＝0，1，…k…N-1)，另一组作为主轴数据z(n)(n＝0，1，…k…N-1)，首先将上述两组数据对应相减，得到第一测回的综合误差数据A(n)(n＝0，1，…k…N-1)。然后，优选n1，将工件数据g(n)平移n1个数据点得到g(n+n1)，g(n+n1)再与主轴数据z(n)相减，得到第二测回的综合误差数据B(n)(n＝0，1，…k…N-1)。将A(n)、B(n)及n1代入单转位圆度误差分离方法中，误差分离后得到工件数据s(n)和主轴数据e(n)。
计算经s(n)和g(n)逐点相减差值Δs(n)为Δs(n)＝s(n)-g(n) (21)s(n)和g(n)间的均方根差RMS(s)RMS(s)=[Σi=1N(s(n)-g(n))2]/N---(22)]]>计算工件分离前、后的相对误差δ(s)δ(s)=|[Δs(n)]Max-[Δs(n)]Min||[g(n)]Max-[g(n)]Min|×100%---(23)]]>计算e(n)和z(n)逐点相减差值Δe(n)
Δe(n)＝e(n)-z(n) (24)e(n)和z(n)间的均方根差RMS(e)RMS(e)=[Σi=1N(e(n)-z(n))2]/N---(25)]]>计算主轴分离前、后的相对误差δ(e)δ(e)=|[Δe(n)]Max-[Δe(n)]Min||[z(n)]Max-[z(n)]Min|×100%---(26)]]>通过比较Δs(n)、δ(s)、RMS(s)、Δe(n)、RMS(e)和δ(e)值的大�。雌兰鄣プ辉捕任蟛罘掷敕椒ㄎ蟛罘掷敕椒ǖ挠行�。
实测数据仿真选用实测的如图6和图7、图8和图9所示的两组谐波丰富的标准球圆轮廓数据，进行分离验证实验。将图6和图7所示的数据作为g(n)，其中，图6为未进行任何处理的原始数据轮廓展开图，图7为其在1-100upr滤波范围的圆轮廓图，其最小区域圆度值为24nm；将图8和图9所示的数据作为z(n)，图8亦为未进行任何处理的原始数据轮廓展开图，图9为其在1-100upr滤波范围的圆轮廓图，其最小区域圆度值为17nm。
优选n1＝9由z(n)和g(n)构成A(n)、B(n)，对A(n)、B(n)用单转位圆度误差分离方法进行分离。
假设Δα＝0.00°，利用单转位圆度误差分离方法分离出s(n)和e(n)，计算Δs(n)和Δe(n)，对应的数据曲线如图10和图11所示，其相应的RMS(s)≈0.000nm，δ(s)≈0.000％，RMS(e)≈0.000nm，δ(e)≈0.000％，在1-100upr滤波范围内，s(n)与e(n)最小区域圆度值分别为24nm和17nm。
假设Δα＝0.01°时，利用单转位圆度误差分离方法分离出s(n)和e(n)，计算Δs(n)和Δe(n)，对应的数据曲线如图12和图13所示，其相应的RMS(s)≈0.158nm，δ(s)≈1.480％，RMS(e)≈0.158nm，δ(e)≈1.060％。在1-100upr滤波范围内，s(n)与e(n)最小区域圆度值分别为24nm和17nm。
比较图10和图11与图12和图13，对在1-100upr滤波范围内的实测数据，由于转位角误差Δα的影响，导致单转位圆度误差分离方法分离精度降低，Δs(n)和Δe(n)值变大，但RMS(s)和RMS(e)仍小于0.158nm，δ(s)和δ(e)仍小于1.480％。工件和轴分离前后的圆度值仍相等且分别等于24nm和17nm。
通过实测数据分离验证实验表明转位角α及其Δα是影响单转位圆度误差分离方法分离精度的关键。当Δα＝0°时，通过优选α值，可以实现信号的完全分离；当Δα＜0.01°时，对谐波丰富的实测信号，单转位圆度误差分离方法亦可对其1-100upr范围内的谐波信号进行精确分离。
权利要求
1.一种单转位圆度误差分离方法，其特征在于该方法包括以下步骤1)选定被测工件(2)某个测量截面进行分离测量，传感器(1)测得处于初始转位位置a处的包括工件圆度误差g(n)和主轴(3)的回转误差z(n)在内的综合误差A(n)，其中n＝0，1，...，N-1，N为工件(2)圆轮廓的周采样点数；2)将工件(2)相对主轴(3)转过角度α到达转位位置b，再对处于转位位置b的工件(2)进行测量，传感器(1)测得包括工件圆度误差g(n)和主轴回转误差z(n)在内的b转位上的综合误差值B(n)，其中n＝0，1，...N-1；3)将转位角α和工件(2)单次转位前后a、b位置上测得的综合误差A(n)和B(n)代入单转位圆度误差分离方法中进行圆度误差分离，具体步骤如下①去除采样信号A(n)、B(n)的直流量；②计算差值信号r(n)；r(n)=Σk=2S-1((ak(1-coskα)-bksinkα)cos(2nπk/N)+(aksinkα+bk(1-coskα))sin(2nπk/N))]]>其中，ak、bk为工件圆度误差g(n)的傅立叶级数展开系数，ck、dk为主轴回转误差z(n)的傅立叶级数展开系数，S为谐波次数。③对r(n)进行谐波分析，求其谐波系数ek和fk；ek=ak(1-coskα)-bksinkαfk=aksinkα+bk(1-coskα)]]>④计算g(n)谐波系数ak和bk；ak=12ek+sinkα2(1-coskα)fkbk=-sinkα2(1-coskα)ek+12fk]]>⑤除去A(n)中的基波分量和一次谐波分量；A″(n)＝A(n)-A0-(h1cos(2nπ/N)+l1sin(2nπ/N))其中，A0为基频分量，h1和l1为A(n)傅立叶级数展开系数。⑥计算谐波合成g(n)；g(n)=Σk=2S-1((akcos(2nπk/N)+bksin(2nπk/N))]]>⑦计算轴系误差z(n)；z(n)＝g(n)-A″(n)4)将g(n)和z(n)分别代入圆度测量评定系统中进行圆度评定，得到剔除了回转误差的工件(2)g(n)的圆度值和主轴(3)回转误差z(n)的圆度值。
全文摘要
本发明属于精密仪器制造及测量技术领域，特别是一种超精密圆度误差分离方法。该方法在分离过程中通过选择恰当的转位角α，使工件相对回转主轴进行相应角度的单次小角度转位，通过测量工件转位前和转位后包括工件误差g(n)和主轴回转误差z(n)在内的综合误差A(n)和B(n)，利用快速傅里叶级数变换和谐波分析等数学处理方法，实现z(n)和g(n)在1－100upr谐波范围的全谐波分离。与目前圆度仪普遍采用的“多步法”误差分离技术相比，该方法根除了其在1－100upr谐波范围内的“谐波奇异”问题，同时使基于该方法上的误差分离系统大为简化，缩短了分离过程，减少了分离时间。此方法可为纳米精度回转基准的建立提供一种理想的圆度误差分离方法。
文档编号G01B21/20GK1645047SQ20051000228
公开日2005年7月27日 申请日期2005年1月20日 优先权日2005年1月20日
发明者赵维谦, 谭久彬 申请人:哈尔滨工业大学
专业数控铣床产品供应商
20年生产经验，实力工厂，精工品质，质量有保障
